Το Excel έχει πολλές δυνατότητες που μπορούν να εκτελέσουν διάφορες εργασίες. Εκτός από την εκτέλεση διαφόρων στατιστικών και οικονομικών αναλύσεων, μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις στο Excel. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε ένα δημοφιλές θέμα που είναι η επίλυση εξισώσεων στο Excel με διάφορους τρόπους και με κατάλληλες εικόνες.

Κατεβάστε το βιβλίο ασκήσεων

Κατεβάστε αυτό το τετράδιο ασκήσεων για να εξασκηθείτε ενώ διαβάζετε αυτό το άρθρο.

Πώς να λύνετε εξισώσεις στο Excel

Πριν ξεκινήσετε να λύνετε εξισώσεις στο Excel, ας δούμε ποιο είδος εξίσωσης θα λυθεί με ποιες μεθόδους.

Τύποι επιλύσιμων εξισώσεων στο Excel:

Υπάρχουν διάφορα είδη εξισώσεων. Αλλά δεν είναι δυνατόν να επιλυθούν όλες στο Excel. Σε αυτό το άρθρο, θα επιλύσουμε τους ακόλουθους τύπους εξισώσεων.

• Κυβική εξίσωση,
• Τετραγωνική εξίσωση,
• Γραμμική εξίσωση,
• Εκθετική εξίσωση,
• Διαφορική εξίσωση,
• Μη γραμμική εξίσωση

Εργαλεία του Excel για την επίλυση εξισώσεων:

Υπάρχουν ορισμένα ειδικά εργαλεία για την επίλυση εξισώσεων στο Excel, όπως Excel Solver Add-in και Επιδίωξη στόχου Εκτός αυτού, μπορείτε να λύνετε εξισώσεις στο Excel αριθμητικά/χειροκίνητα, χρησιμοποιώντας το σύστημα Matrix System κ.λπ.

5 παραδείγματα επίλυσης εξισώσεων στο Excel

1. Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων στο Excel

Σε αυτή την ενότητα, θα προσπαθήσουμε να λύσουμε διάφορες πολυωνυμικές εξισώσεις όπως κυβικές, τετραγωνικές, γραμμικές κ.λπ.

1.1 Επίλυση κυβικής εξίσωσης

Εδώ, θα δείξουμε δύο τρόπους επίλυσης μιας κυβικής εξίσωσης στο Excel.

i. Χρήση της αναζήτησης στόχων

Εδώ, θα χρησιμοποιήσουμε το Επιδίωξη στόχου του Excel για την επίλυση αυτής της κυβικής εξίσωσης.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια εξίσωση:

Πρέπει να λύσουμε αυτή την εξίσωση και να βρούμε την τιμή του X .

📌 Βήματα:

• Πρώτον, διαχωρίζουμε τους συντελεστές σε τέσσερα κελιά.

• Θέλουμε να μάθουμε την τιμή του X εδώ. Ας υποθέσουμε ότι η αρχική τιμή του X είναι μηδέν και εισάγετε μηδέν (0) στο αντίστοιχο κελί.

• Τώρα, διατυπώστε τη δεδομένη εξίσωση του αντίστοιχου κελιού του Y .
• Στη συνέχεια, πατήστε το Εισάγετε το και να λάβετε την τιμή του Y .

• Στη συνέχεια, πατήστε το Εισάγετε το και να λάβετε την τιμή του Y .

Τώρα, θα παρουσιάσουμε το Επιδίωξη στόχου χαρακτηριστικό.

• Κάντε κλικ στο Δεδομένα καρτέλα.
• Επιλέξτε το Επιδίωξη στόχου από την επιλογή Ανάλυση του τι θα συμβεί τμήμα.

• Το Επιδίωξη στόχου εμφανίζεται το παράθυρο διαλόγου.

Πρέπει να εισάγουμε την αναφορά και την τιμή του κελιού εδώ.

• Επιλέξτε Κύτταρο H5 ως το Ορίστε το κελί. Αυτό το κελί περιέχει την εξίσωση.
• Και επιλέξτε Κύτταρο C7 ως το Αλλάζοντας το κύτταρο Η τιμή αυτής της μεταβλητής θα αλλάξει μετά την πράξη.

• Βάλτε 20 στο Για την αξία πλαίσιο, η οποία είναι μια τιμή που υποτίθεται για την εξίσωση.

• Τέλος, πατήστε το πλήκτρο OK κουμπί.

Φαίνεται η κατάσταση της λειτουργίας. Ανάλογα με τη δεδομένη τιμή-στόχο μας, η λειτουργία αυτή υπολόγισε την τιμή της μεταβλητής στο Κύτταρο C7 .

• Πιέστε ξανά OK εκεί.

Είναι η τελική τιμή της X .

ii. Χρήση του πρόσθετου προγράμματος Solver

Solver είναι μια Πρόσθετο Σε αυτό το τμήμα, θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το Solver add-in για την επίλυση της δεδομένης εξίσωσης και την εξαγωγή της τιμής της μεταβλητής.

Solver δεν υπάρχουν στην προεπιλογή του Excel. Πρέπει πρώτα να προσθέσουμε αυτό το πρόσθετο.

📌 Βήματα:

• Ορίζουμε την τιμή της μεταβλητής μηδέν (0) στο σύνολο δεδομένων.

• Πηγαίνετε στο Αρχείο >>, Επιλογές .
• Το Επιλογές Excel εμφανίζεται το παράθυρο.
• Επιλέξτε Πρόσθετα από την αριστερή πλευρά.
• Επιλέξτε Πρόσθετα του Excel και κάντε κλικ στο Go κουμπί.

• Πρόσθετα εμφανίζεται το παράθυρο.
• Ελέγξτε το Προσθήκη Solver και κάντε κλικ στο OK .

• Μπορούμε να δούμε το Solver add-in στο Δεδομένα καρτέλα.
• Κάντε κλικ στο Solver .

• Το Παράμετροι επιλύτη εμφανίζεται το παράθυρο.

• Εισάγουμε την αναφορά κελιού της εξίσωσης στο Ορισμός αντικειμένου κουτί.
• Στη συνέχεια, ελέγξτε το Αξία της επιλογή και βάλτε 20 στο αντίστοιχο πλαίσιο.
• Εισάγετε την αναφορά κελιού του πλαισίου μεταβλητής.
• Τέλος, κάντε κλικ στο Solver .

• Επιλέξτε Διατηρήστε τη λύση Solver και στη συνέχεια πατήστε OK .

• Κοιτάξτε το σύνολο δεδομένων.

Βλέπουμε ότι η τιμή της μεταβλητής έχει αλλάξει.

1.2 Επίλυση τετραγωνικής εξίσωσης

Εδώ θα δείξουμε δύο τρόπους επίλυσης μιας τετραγωνικής εξίσωσης στο Excel.

Εδώ θα λύσουμε την ακόλουθη τετραγωνική εξίσωση.

i. Επίλυση με χρήση του χαρακτηριστικού Goal Seek

Θα λύσουμε αυτή την τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας την Επιδίωξη στόχου Ρίξτε μια ματιά στην παρακάτω ενότητα.

📌 Βήματα:

• Πρώτον, διαχωρίζουμε τους συντελεστές των μεταβλητών.

• Ορίστε την αρχική τιμή του X μηδέν (0).
• Επίσης, εισαγάγετε τη συγκεκριμένη εξίσωση χρησιμοποιώντας τις αναφορές κελιών στο Κύτταρο G5 .

• Πατήστε το Εισάγετε το κουμπί τώρα.

Παίρνουμε μια τιμή Y λαμβάνοντας υπόψη το X είναι μηδέν.

Τώρα, θα χρησιμοποιήσουμε το Επιδίωξη στόχου χαρακτηριστικό για να λάβετε την τιμή του X Έχουμε ήδη δείξει πώς να ενεργοποιήσετε το Επιδίωξη στόχου χαρακτηριστικό.

• Βάλτε την αναφορά κελιού της μεταβλητής και της εξίσωσης στο πεδίο Επιδίωξη στόχου παράθυρο διαλόγου
• Υποθέστε την τιμή της εξίσωσης 18 και να το τοποθετήσετε στο κουτί του Για την αξία τμήμα.

• Τέλος, πατήστε OK .

Παίρνουμε την τελική τιμή της μεταβλητής X .

ii. Χρήση του πρόσθετου προγράμματος Solver

Έχουμε ήδη δείξει πώς να προσθέσετε Προσθήκη Solver στο Excel. Σε αυτή την ενότητα, θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το Solver για την επίλυση της ακόλουθης εξίσωσης.

📌 Βήματα:

• Βάζουμε μηδέν ( 0 ) στο Κύτταρο C7 ως αρχική τιμή του X .
• Στη συνέχεια, βάλτε τον ακόλουθο τύπο Κύτταρο G5 .

• Πατήστε το Εισάγετε το κουμπί.

• Εισάγετε το Solver add-in όπως φαίνεται προηγουμένως.
• Επιλέξτε την αναφορά κελιού της εξίσωσης ως αντικείμενο.
• Βάλτε την αναφορά κελιού της μεταβλητής.
• Επίσης, ορίστε την τιμή της εξίσωσης ως 18 .
• Τέλος, κάντε κλικ στο Λύστε το επιλογή.

• Ελέγξτε το Διατηρήστε τη λύση Solver από την επιλογή Αποτελέσματα Solver παράθυρο.

• Τέλος, κάντε κλικ στο OK κουμπί.

2. Επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Μια εξίσωση που έχει οποιαδήποτε μεταβλητή με το μέγιστο βαθμό 1 ονομάζεται γραμμική εξίσωση.

2.1 Χρήση του συστήματος Matrix

Το Λειτουργία MINVERSE επιστρέφει τον αντίστροφο πίνακα για τον πίνακα που είναι αποθηκευμένος σε έναν πίνακα.

Το Λειτουργία MMULT επιστρέφει το γινόμενο πινάκων δύο πινάκων, ενός πίνακα με τον ίδιο αριθμό γραμμών με τον array1 και στήλες ως array2 .

Αυτή η μέθοδος θα χρησιμοποιήσει ένα σύστημα πινάκων για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων. Εδώ, 3 οι γραμμικές εξισώσεις δίνονται με 3 μεταβλητές x , y , και z Οι εξισώσεις είναι:

3x+2+y+z=8,

11x-9y+23z=27,

8x-5y=10

Θα χρησιμοποιήσουμε το MINVERSE και MMULT συναρτήσεις για την επίλυση των συγκεκριμένων εξισώσεων.

📌 Βήματα:

• Πρώτον, θα διαχωρίσουμε τους μεταβλητούς συντελεστές στα διάφορα κελιά και θα τους μορφοποιήσουμε ως πίνακα.
• Φτιάξαμε δύο πίνακες. Ένας με τους συντελεστές της μεταβλητής και ένας άλλος με τις σταθερές.

• Προσθέτουμε άλλους δύο πίνακες για τον υπολογισμό μας.

• Στη συνέχεια, θα βρούμε τον αντίστροφο πίνακα του A χρησιμοποιώντας το MINVERSE λειτουργία.
• Εισάγετε τον ακόλουθο τύπο στο Κύτταρο C7 .

Αυτός είναι ένας τύπος πίνακα.

• Πατήστε το Εισάγετε το κουμπί.

Ο αντίστροφος πίνακας έχει σχηματιστεί επιτυχώς.

• Τώρα, θα εφαρμόσουμε έναν τύπο με βάση το MMULT συνάρτηση στο Κύτταρο H9 .

Χρησιμοποιήσαμε δύο πίνακες μεγέθους 3 x 3 και 3 x 1 στον τύπο και ο προκύπτων πίνακας έχει μέγεθος 3 x 1 .

• Πατήστε το Εισάγετε το ξανά.

Και αυτή είναι η λύση των μεταβλητών που χρησιμοποιούνται στις γραμμικές εξισώσεις.

2.2 Χρήση του πρόσθετου προγράμματος Solver

Θα χρησιμοποιήσουμε το Solver add-in για την επίλυση 3 εξισώσεις με 3 μεταβλητές.

📌 Βήματα:

• Πρώτον, διαχωρίζουμε τους συντελεστές όπως φαίνεται προηγουμένως.

• Στη συνέχεια, προσθέστε δύο τμήματα για τις τιμές των μεταβλητών και εισαγάγετε τις εξισώσεις.
• Θέτουμε την αρχική τιμή των μεταβλητών σε μηδέν ( 0 ).

• Εισάγετε τις ακόλουθες τρεις εξισώσεις στα κελιά E10 στο E12 .

• Τώρα, πηγαίνετε στο Solver χαρακτηριστικό.
• Ορίστε την αναφορά κελιού της 1ης εξίσωσης ως στόχο.
• Ορίστε την τιμή της εξίσωσης 8 .
• Εισάγετε το εύρος των μεταβλητών στο σημειωμένο πλαίσιο.
• Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο Προσθέστε κουμπί.

• Το Προσθήκη περιορισμού εμφανίζεται το παράθυρο.
• Τοποθετήστε το κελί Reference και τις τιμές όπως σημειώνονται στην παρακάτω εικόνα.

• Εισάγετε τον δεύτερο περιορισμό.
• Τέλος, πατήστε OK .

• Προστίθενται περιορισμοί. Πατήστε το κουμπί Λύστε το κουμπί.

• Κοιτάξτε το σύνολο δεδομένων.

Βλέπουμε ότι η τιμή των μεταβλητών έχει αλλάξει.

2.3 Χρήση του κανόνα του Cramer για την επίλυση ταυτόχρονων εξισώσεων με 3 μεταβλητές στο Excel

Όταν δύο ή περισσότερες γραμμικές εξισώσεις έχουν τις ίδιες μεταβλητές και μπορούν να λυθούν ταυτόχρονα ονομάζονται ταυτόχρονες εξισώσεις. Θα λύσουμε τις ταυτόχρονες εξισώσεις χρησιμοποιώντας Cramer's κανόνας. Η συνάρτηση MDETERM θα χρησιμοποιηθεί για την εύρεση των προσδιοριστικών παραγόντων.

📌 Βήματα:

• Διαχωρίστε τους συντελεστές σε LHS και RHS .

• Προσθέτουμε 4 τμήματα για την κατασκευή ενός πίνακα χρησιμοποιώντας τα υπάρχοντα δεδομένα.

• Θα χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα της LHS να κατασκευάσει Μήτρα D .

• Τώρα, θα κατασκευάσουμε Matrix Dx.
• Απλά αντικαταστήστε τους συντελεστές του X με το RHS .

• Ομοίως, κατασκευάστε Dy και Dz πίνακες.

• Βάλτε τον ακόλουθο τύπο στο Κελί F11 για να πάρουμε τον προσδιοριστή του Μήτρα D .

• Πατήστε το Εισάγετε το κουμπί.

• Ομοίως, βρείτε τους προσδιοριστές των Dx, Dy και Dz εφαρμόζοντας τους ακόλουθους τύπους.

• Μετακίνηση σε Κελί I6 .
• Διαιρέστε τον προσδιοριστή του Dx από D για να υπολογίσετε την τιμή του X .

• Πατήστε το Εισάγετε το για να λάβετε το αποτέλεσμα.

• Με τον ίδιο τρόπο, λάβετε την τιμή του Y και Z χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:

Τέλος, λύνουμε τις ταυτόχρονες εξισώσεις και παίρνουμε την τιμή των τριών μεταβλητών.

3. Επίλυση μη γραμμικών εξισώσεων στο Excel

Σε αυτή τη μέθοδο, θα επιλύσουμε μη γραμμικές εξισώσεις στο Excel χρησιμοποιώντας το Solver χαρακτηριστικό του Excel.

Έχουμε δύο μη γραμμικές εξισώσεις εδώ.

📌 Βήματα:

• Εισάγουμε την εξίσωση και τις μεταβλητές στο σύνολο δεδομένων.

• Πρώτον, εξετάζουμε την τιμή της μεταβλητής μηδέν ( 0 ) και να το εισάγετε στο σύνολο δεδομένων.

• Τώρα, εισάγετε δύο εξισώσεις στο Κύτταρο C5 και C6 για να λάβετε την τιμή του RHS .

• Προσθέτουμε μια νέα γραμμή στο σύνολο δεδομένων για το άθροισμα.
• Μετά από αυτό, βάλτε την ακόλουθη εξίσωση Κελί C12 .

• Πατήστε το Εισάγετε το και το άθροισμα των RHS και των δύο εξισώσεων.

• Εδώ, θα εφαρμόσουμε το Solver χαρακτηριστικό του Excel.
• Εισάγετε τις αναφορές κελιών στα σημειωμένα πλαίσια.
• Ορίστε το Τιμή 0.
• Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο Προσθέστε για να προσθέσετε περιορισμούς.

• Προσθέτουμε το 1η περιορισμούς όπως φαίνεται στην εικόνα.
• Πιέστε ξανά το πλήκτρο Προσθέστε κουμπί για 2η περιορισμός.

• Εισάγετε τις αναφορές και τις τιμές των κελιών.
• Τέλος, πατήστε OK .

• Μπορούμε να δούμε ότι οι περιορισμοί προστίθενται στο Solver .
• Κάντε κλικ στο Solver κουμπί.

• Ελέγξτε το Διατηρήστε τη λύση Solver και στη συνέχεια κάντε κλικ στο OK .

• Κοιτάξτε τώρα το σύνολο δεδομένων.

Λαμβάνουμε την τιμή του X και Y με επιτυχία.

4. Επίλυση εκθετικής εξίσωσης

Σε αυτή τη μέθοδο, θα δείξουμε πώς να λύσουμε μια εκθετική εξίσωση χρησιμοποιώντας την EXP λειτουργία.

Θα υπολογίσουμε τον μελλοντικό πληθυσμό μιας περιοχής με ένα ρυθμό ανάπτυξης-στόχο. Θα ακολουθήσουμε την παρακάτω εξίσωση γι' αυτό.

Ορίστε,

Po = Τρέχων ή αρχικός πληθυσμός

R = Ρυθμός ανάπτυξης

T = Χρόνος

P = Εκτιμώμενος για τον μελλοντικό πληθυσμό.

Αυτή η εξίσωση έχει ένα εκθετικό μέρος, για το οποίο θα χρησιμοποιήσουμε το EXP λειτουργία.

📌 Βήματα:

• Εδώ, ο τρέχων πληθυσμός, ο ρυθμός αύξησης στόχου και ο αριθμός των ετών δίνονται στο σύνολο δεδομένων. Θα υπολογίσουμε τον μελλοντικό πληθυσμό χρησιμοποιώντας αυτές τις τιμές.

• Βάλτε τον ακόλουθο τύπο με βάση το EXP συνάρτηση στο Κύτταρο C7 .

Χρησιμοποιήσαμε το ΣΤΡΟΓΓΥΛΟΣ συνάρτηση, καθώς ο πληθυσμός πρέπει να είναι ακέραιος αριθμός.

• Τώρα, πατήστε το Εισάγετε το για να λάβετε το αποτέλεσμα.

Είναι ο μελλοντικός πληθυσμός μετά 10 έτη σύμφωνα με τον υποτιθέμενο ρυθμό ανάπτυξης.

5. Επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο Excel

Εδώ, θα δείξουμε πώς να λύσουμε μια διαφορική εξίσωση στο Excel. Πρέπει να βρούμε dy/dt , διαφοροποίηση των y σχετικά με το t Σημειώσαμε όλες τις πληροφορίες στο σύνολο δεδομένων.

📌 Βήματα:

• Ορίστε την αρχική τιμή του n , t , και y από τις δεδομένες πληροφορίες.

• Βάλτε τον ακόλουθο τύπο στο Κύτταρο C6 για το t .

Ο τύπος αυτός έχει παραχθεί από t(n-1) .

• Τώρα, πατήστε το Εισάγετε το κουμπί.

• Βάλτε μια άλλη φόρμουλα στο Κελί D6 για το y .

Ο τύπος αυτός προέκυψε από την εξίσωση του y(n+1) .

• Πιέστε ξανά το πλήκτρο Εισάγετε το κουμπί.

• Τώρα, επεκτείνετε τις τιμές στη μέγιστη τιμή του t , το οποίο είναι 1.2 .

Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα γράφημα χρησιμοποιώντας την τιμή της t και y .

• Πηγαίνετε στο Εισαγωγή καρτέλα.
• Επιλέξτε ένα γράφημα από το Διάγραμμα ομάδα.

• Κοιτάξτε το γράφημα.

Είναι ένα y εναντίον. t γράφημα.

• Τώρα, κάντε διπλό κλικ στο γράφημα και στις ελάχιστες και μέγιστες τιμές του άξονα του γραφήματος. Αλλάξτε το μέγεθος της οριζόντιας γραμμής.

• Μετά από αυτό, αλλάξτε το μέγεθος της κάθετης γραμμής.

• Μετά την προσαρμογή του άξονα, το γράφημά μας έχει την εξής μορφή.

Τώρα, θα βρούμε τη διαφορική εξίσωση.

• Υπολογίστε τη διαφορική εξίσωση χειροκίνητα και τοποθετήστε την στο σύνολο δεδομένων.

• Μετά από αυτό, φτιάξτε μια εξίσωση με βάση αυτή την εξίσωση και βάλτε την στο Κύτταρο E5 .

• Πατήστε το Εισάγετε το και σύρετε το κουμπί Χειρολαβή πλήρωσης εικονίδιο.

• Πηγαίνετε και πάλι στο γράφημα και πατήστε το δεξί κουμπί του ποντικιού.
• Επιλέξτε το Επιλέξτε δεδομένα από την επιλογή Μενού περιβάλλοντος .

• Επιλέξτε Προσθέστε από την επιλογή Επιλέξτε Πηγή δεδομένων παράθυρο.

• Επιλέξτε τα κελιά του t στήλη στο X τιμές και τα κελιά του y_exact στήλη στο Y τιμές στο Επεξεργασία σειράς παράθυρο.

• Και πάλι, κοιτάξτε το γράφημα.